Доказателство

[Naughty]

Нов съм тук и ако съм сбъркал раздела, моля за извинение.

Задачата е следната:

Да се докаже следното:

Нека T e нечетно число и

Т+m^2=n

където m= 1,2,3....(T-1)/2

Да се докаже, че в редицата на n

T+1^2=n1

T+2^2=n2

T+3^2=n3

..............

T+m^2-nm

има поне едно число n, което е точен квадрат

Благодаря

[scarecrow]

ама тая задача сериозно ли или е шега?

при положение, че Т е нечетно и при m=(T-1)/2

сумата T + m² винаги е точен квадрат

Т + (Т-1)²/2² = Т +(Т² -2Т +1)/4 = (4Т + Т² - 2Т + 1)/4 = (Т²+2Т+1)/4 = [(Т+1)/2]²

[Naughty]

ама тая задача сериозно ли или е шега?

Не е шега. Това е първата част. Втората част е:

При какви условия на Т и/или на m в редицата на n ще има повече от един точен квадрат. Просто съм пропуснал цялостното условие. Много се извинявам

Сега всичко е изписано

[scarecrow]

сега пък на мен ми изглежда малко мъгляво...

ако T + m2 = n2

=> T = n2 - m2

или с други думи ако си напишеш квадратите на целите числа:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 и.т.н

си избираш кои да е две, стига да не са "съседни" и едното от тях да е четно, а другото да е нечетно (за да бъде разликата от тях, т.е. Т нечетно число), например

16-1 = 15 и наистина при Т=15

15+1=16

15+7² = 15+49=64=8²

или 25-4 = 21, при Т=4

21+4=25

21+10² = 121 = 11²

49-4 = 45

При Т=45

45+4=49

45+22² = 23²

Предполагам, че този отговор не е удовлетворителен, затова нека търсим Т= n2-m2

m<n, затова нека m=n-p

n²-m² = n² - (n-p)² = (n+n-p)(n-n+p) = p(2n-p)

т.е. Т=p(2n-p)

за да бъде Т нечетно трябва р да е нечетно и по-голямо от 1

освен това n>p (за да бъде m положително число)

Всяко число Т, което може да се представи по гореописания начин отговаря на условието.

При р=3 това са числата 15, 21, 27, 33, 39...

при р=5 това са 35, 45, 55, 65, 75

при р=7 това са 63, 77, 91, 105, 119,...

и т.н.

поне това е, нещото което аз се сещам, но не съм 100% сигурен дали това се търси...

[Naughty]

Благодаря. И двете обяснения ще могат да се използват и се допълват по някакъв начин. Според мен обаче (както е условието), се търси някаква връзка/зависимост между n и m, тъй като Т е постоянно число. Примери:

а)

21+1-22

21+4=25

.....

21+100=121

b)

15+1=16

15+4=19

.....

15+49=64

c)

105+1=106

105+4=109

.........

105+16= 121

.....

105+ 64= 169

.....

105+256=361

....

105+2704= 2809

Чувствам, че нещо изпускам, но не мога да преценя какво