1. В триъгълник АБС точките M, N и Р са средите съответно на страните АВ, ВС, СА. Сборът от периметрите на триъгълниците АМР, МВN, NCP и МNP е 24см. Периметърът на триъгълника АВС е...?
2. Даден е триъгълник АВС. Точките М, Р и U лежат върху страната АС и АМ = МР = PU = UC. Правите през М, Р и U, успоредни на АВ, пресичат страната ВС съответно в точки N, Q и V. Намерете MN, PQ и UV, ако АВ=а.
Отг. 3/4а, 1/2а, 1/4а
3. Точките М и N лежат съответно върху страните AD и BC на успоредника АВСD и са такива, че MN е успоредна на АВ. Нека Р = АN пресечена от BM и Q = CM пресечена от DN. Докажете, че PQ е успоредна на AD и PQ = 0.5 AD.
4. В триъгълника АВС ъгъл САВ = 30 градуса, ъгъл АСВ= 90 градуса, М е медицентърът на триъгълника, а Р - пресечната точка на ъглополовящата през върха В с медианата СС1. Намерете МР, ако АВ=12см
5. В трапеца АВСD (АВ е успоредна на CD) ъгъл DAB=90градуса, ъгъл АВС=ъгъл ВСА= 60градуса , средната основа е 3см. Намерете основите на трапеца.
6. В трапеца АВСD (АВ е успоредна на CD) ъгъл DAB=90градуса , ъгъл ABC=60градуса , a диагоналът АС разполовява ъгъл ВСD. Докажете, че ако М е средата на ВС, то триъгълникът АМD е равностранен.
7. В трапеца АВСD (АВ е успоредна на CD) точките М и Р лежат върху бедрото АD и АМ=МР=РD. Правите през М и Р, са успоредни на АВ, пресичат бедрото ВС съответно в точки N и Q. Намерете MN и PQ, ако AB=a и CD=b
Упътване: През върха D постройте права, успоредна на ВС
8. Даден е трапец АВСD (АВ е успоредна на CD). Точката М дели бедрото AD в отношение 1:2, считано от А. Правата през М, успоредна на АВ, пресича диагоналите АС и BD в точки Р и Q. Намерете РQ, aко АВ=а и CD=b (a>b)
9. Даден е трапец ABCD (АВ е успоредна на CD). Точката М дели бедрото AD в отношение 2:1 считано от А. Правата m през М, успоредна на АВ, пресича диагоналите АС и BD в точки Р и Q.
a) Намерете PQ, ако AB=а и СD=b (a>b)
б) При какви условия за а и b правата m минава през пресечната точка на диагоналите?
10. Даден е успоредник АВСD. Точката N е средата на CD, а М е пресечната точка на АС и BN. Намерете в какво отношение точка М дели диагонала АС, считано от върха А.
Отг.2:1 Упътване: Докажете, че М е медицентътът на труъгълник ВСD
11. В триъгълник ABC точка Р е средата на медианата СМ. Правата АР пресича ВС в точка Q. Намерете в какво отношение Q дели BC, считано от върха В.
Oтг.2:1 Упътване: Постройте през М права, успоредна на АР
12. Върху страните АВ, ВС и СА на равностранен триъгълник АВС са дадени точки Р, Q и R такива, че АР:РВ=BQ:QC=CR:RA=1:2 http://media.snimka.bg/9841/025937372.jpg Докажете, че:
а) триъгълникът PQR е равностранен
б) медицентровете на триъгълник АВС и триъгълник PQR съвпадат.
13. В триъгълника АВС точката М е средата на страната АВ, а Р и Q делят ВС на три равни части. Докажете, че ако ъгъл РМQ=90градуса , то ВС=3АС.
Упътване: В триъгълник РМQ постройте медианата през върха М. Докажете, че тя е средна отсечка в триъгилник АВС.
Задачките са от 8ми клас.
