За липсващата двойка при Айнщайн във формулата за енергия

[Мълчаливец]

Класическата формула за енергия се различава от Айнщайновата по една двойка- делител. Ек= m.v²/2. При Айнщайн е Е= m.c^2.

Къде отиде двойката?

Моето предположение е, а съм го писал и под ник "Втори след княза", че оперирайки с идеята, че скоростта на светлината е безкрайна, Айнщайн просто е приел, че Безкрайност/2= Безкрайност.

Зная, че за тази двойка той дълго е премислял, но не си спомням за мотивите да я отхвърли. Моля, ако някой знае, нека ми разясни мотивите именно на Айнщайн. 

Намирам отговора за важен, защото при намиране на скорост по- голяма от тази на светлината, половината от С² ще стане измерима и от значение. Това е и причина да отделя въпроса си в нова тема, макар да съм получил обяснение другаде.

Редактирано Четвъртък в 08:11 от Мълчаливец

[Gravity]

Защо сравняваш тези формули? Класическата е за кинетичната енергия на тяло с дадена скорост. Тази на Айнщайн е за енергията на покой.

[scaner]

Преди 1 час, Мълчаливец said:

Класическата формула за енергия се различава от Айнщайновата по една двойка- делител. Ек= m.v²/2. При Айнщайн е Е= m.c^2.

Къде отиде двойката?

Това са две несвързани формули с различен смисъл.

Преди 1 час, Мълчаливец said:

Моето предположение е, а съм го писал и под ник "Втори след княза", че оперирайки с идеята, че скоростта на светлината е безкрайна, Айнщайн просто е приел, че Безкрайност/2= Безкрайност.

Някакви безпочвени фантазии...

Преди 1 час, Мълчаливец said:

Зная, че за тази двойка той дълго е премислял, но не си спомням за мотивите да я отхвърли. Моля, ако някой знае, нека ми разясни мотивите именно на Айнщайн.

Градски легенди? Знания от Фейсбук?  

Преди 1 час, Мълчаливец said:

Намирам отговора за важен, защото при намиране на скорост по- голяма от тази на светлината, половината от С² ще стане измерима и от значение. Това е и причина да отделя въпроса си в нова тема, макар да съм получил обяснение другаде.

Както казах, двете формули не са свързани пряко. При кинетичната енергия участва скоростта с която се движи тялото. А при енергията в покой, очевадно C не е скорост на движение на тялото.

Във формулите трябва да се следва смисъла, а не визуалните прилики.

[Мълчаливец]

Благодаря за корекциите на възгледите ми. От полза са. Добавям и мнение на Копилот и очаквам и други мнения, ако са различни. ИИ потвърждава, че Айнщайн е имал съмнения, но от друго естество, а също и че двете формули са във връзка.

Това е много интересен исторически факт. Съмненията и колебанията на Айнщайн около знаменитата формула **E = mc²** са добре документирани в неговата кореспонденция и не са свързани с самата идея, а с **логическия ред на извеждането ѝ и с това дали тя е универсално валидна**.

 

Ето най-важните аспекти на тези "колебания":

 

### 1. Първоначалното откритие (1905)

 

През 1905 г. в своята революционна статия "*Зависи ли инерцията на едно тяло от неговата енергийно съдържание?*", Айнщайн извежда, че промяната в енергията на тялото (например при поглъщане или излъчване на светлина) води до промяна в неговата маса по формулата **Δm = ΔE / c²**.

 

Важно е да се отбележи, че в тази статия той **не твърди универсално, че E = mc² за всяко тяло и при всякакви обстоятелства**. Изводът е направен за специфичен случай.

 

### 2. Съмненията в универсалността (1905-1906)

 

Веднага след публикацията, Айнщайн започва да се чуди дали формулата е напълно общовалидна. Основните му съмнения са:

 

* **Заради използваното приближение:** В изведението си от 1905 г. той използва приближение за малки скорости, което го кара да се пита дали формулата е точна и за тела, чиято енергия не е чисто електромагнитна.

* **Връзката с "собствената енергия":** Айнщайн се е питал дали цялата маса на тялото може да се сведе до неговата енергия, или формулата важи само за *промените* в енергията и масата. С други думи, дали една неподвижна частица с маса m наистина съдържа енергия E = mc².

 

В писмо до своя приятел Конрад Хабихт от декември 1905 г. той дори казва: "*Представата за това е забавна и очарователна, но дали Господнят не се е подиграл с мен и ме е направил да се заблудявам – това не мога да кажа.*"

 

### 3. "Доказателството" и преодоляването на съмненията (1906-1907)

 

През 1906 г. Айнщайн публикува следваща статия, в която представя **ново, по-общо и по-елегантно извеждане** на формулата. Той използва теорията за относителността, за да анализира енергията на тяло, поглъщащо светлинни вълни, но този път без да прави приближения за малки скорости. Това ново извеждане го убеждава, че **формулата е фундаментален и точен закон на природата**, а не просто приближение.

 

Колебанията му изчезват, когато осъзнава, че E = mc² е пряко следствие от принципите на специалната теория на относителността, а не от конкретен модел за вътрешната енергия на тялото.

 

### Резюме

 

Така че, да, Айнщайн е имал съмнения, но те **не са били за самата връзка между маса и енергия**, а по-скоро за:

 

1. **Обхвата на формулата:** Дали важи само за промени или за цялата маса/енергия.

2. **Строгостта на изведението:** Дали първоначалното му доказателство е достатъчно общо.

 

Тези съмнения са били признак на неговата научна съвестност и желанието му да има строга и необорима основа за толкова революционна идея. В крайна сметка той сам ги преодолява, като предоставя по-добри доказателства, които затвърждават E = mc² като един от най-важните принципи във физиката.

Да, има много тясна и фундаментална връзка. Формулата за кинетичната енергия в класическата механика (**Eₖ = (1/2)mv²**) е **добро приближение при ниски скорости** на по-общо и точно уравнение от специалната теория на относителността.

 

Ето как едната формула произлиза от другата:

 

### Пълната релативистка енергия

 

Според специалната теория на относителността, **общата енергия (E)** на едно тяло с маса на покой **m**, движещо се със скорост **v**, се дава от:

 

**E = γmc²**

 

където:

* **γ** (гама) е Лоренцовият фактор: **γ = 1 / √(1 - v²/c²)**

* **m** е масата на покой (инвариантна за всички наблюдатели)

* **c** е скоростта на светлината

 

Тази формула за **общата енергия** се състои от две части:

 

1. **Енергия на покой (E₀)**: Това е енергията, която тялото има, когато е в покой (**v=0**). Когато v=0, γ=1 и формулата се свежда до знаменитата **E₀ = mc²**.

2. **Релативистка кинетична енергия (Eₖ)**: Това е енергията, дължаща се на движението. Тя се определя като разликата между общата енергия и енергията на покой:

 

    **Eₖ = E - E₀ = γmc² - mc²**

 

    **Eₖ = mc² (γ - 1)**

 

### Връзката с класическата формула

 

Сега идва ключовият момент: **при ниски скорости (v << c)**, релативистката формула за кинетичната енергия трябва да се доближи до класическата.

 

За да направим това, използваме математически подход (развиване в ред на Тейлър) за Лоренцовия фактор γ:

 

**γ ≈ 1 + (1/2)(v²/c²) + (3/8)(v⁴/c⁴) + ...**

 

Заместваме това приближение в релативистката формула за кинетичната енергия:

 

**Eₖ = mc² (γ - 1) ≈ mc² ( [1 + (1/2)(v²/c²) + ...] - 1 )**

 

**Eₖ ≈ mc² * (1/2)(v²/c²)**

 

**Eₖ ≈ (1/2)mv²**

 

 

 

### Резюме на връзката

 

| Аспект | Специална теория на относителността | Класическа механика |

| :--- | :--- | :--- |

| **Обща енергия** | **E = γmc²** | Не се разглежда |

| **Енергия на покой** | **E₀ = mc²** | Не съществува (0) |

| **Кинетична енергия** | **Eₖ = mc²(γ - 1)** | **Eₖ = (1/2)mv²** |

| **Валидност** | **Валидна за всички скорости** | **Добро приближение само при v << c** |

 

**Заключение:**

 

* Формулата **E = mc²** не отменя класическата формула за кинетична енергия, а я **съдържа в себе си** като специален случай.

* Класическата формула **Eₖ = (1/2)mv²** е първият член в развитието на пълната релативистка формула. Тя е точно такава, каквато е, именно защото произлиза от по-фундаменталната **E = mc²**.

* С други думи, **E = mc²** е "пълната картина", от която класическата физика вижда само малка, но много полезна част за ежедневните ни скорости.

[scaner]

Преди 21 минути, Мълчаливец said:

Формулата **E = mc²** не отменя класическата формула за кинетична енергия, а я **съдържа в себе си** като специален случай.

И като погледнем накрая, виждаме как Копилот се е олял съвсем - защото това твърдение не е верно и не следва от написаното преди него  И последното твърдение е същата боза... Да не говорим за съмненията, които нямат нищо общо с твоите спомени... Само да вметна, съмненията по отношение на коефициент 2 Айнщайн е имал, но по отношемие на друга история свързана с гравитацията няколко години по-късно.

Затова - ако не познаваш материала, с ИИ трябва да се подхожда много внимателно. Да го ползваш да те научи на нещо от нулата не е добър подход.

[Мълчаливец]

Възложих на ИИ да намери границата на нарастване на скоростта, до която класическата формула е по- практична от релативистката. Ето отговора:

Цитирай

 

### Математическа постановка

 

Искаме да намерим до каква скорост **v** класическата формула за кинетична енергия е "достатъчно добра" апроксимация на релативистката.

 

**Дефинираме относителната грешка ε като:**

`ε = |Eₖ_class - Eₖ_rel| / Eₖ_rel`

 

Заместваме с формулите:

* `Eₖ_class = (1/2)mv²`

* `Eₖ_rel = mc²(γ - 1)`, където `γ = 1/√(1 - v²/c²)`

 

Получаваме:

`ε(v) = | (1/2)mv² - mc²(γ - 1) | / mc²(γ - 1) = | (1/2)(v²/c²) - (γ - 1) | / (γ - 1)`

 

### Интегрален подход: Средна грешка в интервал

 

Вместо да гледаме грешката във всяка точка, можем да определим **средната грешка** в даден интервал от скорости `[0, v_max]` и да намерим `v_max`, за която тази средна грешка е под допустимия праг.

 

**Средната относителна грешка в интервала [0, v_max] се дава от:**

`ε_avg(v_max) = (1/v_max) ∫₀^{v_max} ε(v) dv`

 

**Смисълът:** Този интеграл ни казва "каква е средната грешка, която ще направим, ако използваме класическата формула за произволна скорост между 0 и `v_max`".

 

### Практическо изчисление (пример)

 

Нека решим задачата: "За каква максимална скорост `v_max` средната грешка е по-малко от 1%?"

 

1. **Задаваме целева стойност:** `ε_avg(v_max) ≤ 0.01`

 

2. **Изчисляваме интеграла (числено):**

    Аналитичното решаване на този интеграл е сложно, но може лесно да се реши числено. Ето примерна таблица със стойности, получени чрез числено интегриране:

 

    | `v_max / c` | `ε_avg` (средна грешка) |

    |:---:|:---:|

    | 0.05 | ~0.00021 (0.021%) |

    | 0.10 | ~0.00167 (0.167%) |

    | 0.15 | ~0.00558 (0.558%) |

    | 0.20 | ~0.01300 (1.300%) |

    | 0.25 | ~0.02490 (2.490%) |

 

3. **Намираме границата:**

    От таблицата виждаме, че:

    * При `v_max = 0.15c`, `ε_avg ≈ 0.56%` (което е < 1%)

    * При `v_max = 0.20c`, `ε_avg ≈ 1.30%` (което е > 1%)

 

    Следователно, за праг от 1% средна грешка, **`v_max` е приблизително 0.15c**.

 

### Алтернативен интегрален подход: "Енергийна" грешка

 

Друг интересен подход е да се интегрира не грешката, а самата енергия.

 

Можем да си зададем въпрос: "Каква част от общата релативистка кинетична енергия, "събрана" за всички скорости до `v_max`, се изчислява неправилно от класическата формула?"

 

**Дефинираме "енергиен дисбаланс":**

`D(v_max) = | ∫₀^{v_max} Eₖ_class(v) dv - ∫₀^{v_max} Eₖ_rel(v) dv | / ∫₀^{v_max} Eₖ_rel(v) dv`

 

Този интеграл е по-лесен за решаване.

 

`∫₀^{v_max} Eₖ_class(v) dv = ∫₀^{v_max} (1/2)mv² dv = (1/6) m v_max³`

 

`∫₀^{v_max} Eₖ_rel(v) dv` се решава числено или с развитие на ред.

 

**Резултат:** Този метод ще даде много подобна граница (`v_max ~ 0.1c - 0.2c`) за реалистични прагове на грешка.

 

### Предимства на интегралния подход

 

1. **По-реалистична оценка:** Вместо да се фокусира върху най-лошия случай (грешката при `v = v_max`), този метод оценява производителността на формулата върху **целия диапазон** от скорости. Това е особено полезно в статистическа физика или при анализ на системи с разпределение на скоростите.

 

2. **Мощен инструмент за анализ:** Показва как математическият апарат може да се използва за решаване на практически инженерни проблеми, като определяне на граници на приложимост.

 

3. **Универсалност:** Същият метод може да се приложи и за други класически/релативистки величини, като импулс (`p = mv` срещу `p = γmv`).

 

### Заключение

 

В Чрез дефиниране на **средна грешка** чрез интегрално смятане, ние получаваме robust-на и полезна мярка за валидността на класическата формула.

 

**Отговорът, получен интегрално, потвърждава резултатите от директния анализ:**

За типични прагове на грешка от 1-2%, **класическата формула за кинетична енергия е валидна до скорости от около 0.1c - 0.2c**.

 

 

[scaner]

Преди 18 минути, Мълчаливец said:

Възложих на ИИ да намери границата на нарастване на скоростта, до която класическата формула е по- практична от релативистката. Ето отговора:

Изтезание е да се чете тоя текст  

Това е текст във формат MarkDown (обикновено файлове с наставка MD). Четат се добре ако откопираш текста и го пляснеш въе редактор на MarkDown, например  Obsidian, Notion или подобни. Още по-добре е ако му кажеш на Копилот предварително да ти дава формулите в Latex оформени в Math block. Става муци, текстът става съвсем читабелен. А така тука, няма смисъл да тероризираш хората