Кои са двете числа?

[Goro]

Един учител казал пред класа, че си е намислил две цели числа, различни едно от друго и между тях няма нула или единица. И че ще съобщи първо само на Иван сумата, а след това само на Васил - произведението.

След това попитал пред всички Иван: ти сещаш ли се кои са двете числа? Отговорил му - не.

Тогава попитал Васил: А ти сещаш ли се кои са числата? И той му отговорил му - не.

Тогава Иван се обадил: Аз вече се сещам, кои са числата.

Веднага се обадил и Васил: И аз вече се сещам кои са числата.

Кои са двете числа?

Това е една от най-красивите логически задачи, които съм срещал.

Редактирано Декември 4, 2008 от ISTORIK

[z_z_z_z]

и между тях няма нула или единица

кво ще рече тва?

[Goro]

Нито едно от намислените от учителя числа не е нула или единица и са положителни (това забравих да кажа, за което се извинявам). Няма ограничение колко големи са числата. Различни са едно от друго. Цяли са.

В задачата няма уловки.

Най-интересно е защо са (x) и (y).

[z_z_z_z]

е хуу има ме x и y

Ванко знае x+y колко е,а Васко (по известен като Азис) знае колко е x*y

еми баси по отделно няма как да се реши

я обясни как става

[Goro]

Ще ти обясня, но не веднага. Помисли още, защото задачата е страшно интересна и ще съжаляваш уверявам те, че не си я решил сам. Предпочитам да ти съобщя отговора само в лично съобщение. Аз я реших за около 4 часа. Най-бързо я реши една програмистка за около половин час. Това е абсолютен рекорд. Помъчи се и те уверявам, че няма да съжаляваш. Прочел съм някоко сборника с логически задачи, но толкова интересна не съм срещал. Успех. След няколко дни ще ти пратя отговора.

С уважение Г. Цветков

[xyz]

Защо ми се вижда, че задачата е нерешима??? Ако сумата е повече от 6, то е ясно, че не могат да се определят числата от самото начало. Нататък: ако са произведение на две цели числа, то ако двете са прости, то веднага ще бъдат определени на първа стърка от втория. Ето вариантите, които може да е получил първия, в зависимост от сумите, които са му казали (първите 2 случая отпадат).

5=2+3

6=2+4

7=2+5=3+[4] --> 3.4=12

8=2+[6]=3+5 --> 2.6=12

9=2+7=3+[6]=[4]+5

10=2+[8]=3+7=[4]+[6]

11=2+[9]=3+[8]=[4]+7=5+[6]

...

Както разбрахме вторият е получил произведение на две числа, едното от които със сигурност е съставно. По-горе с [] съм маркирал съставните числа! След като обявява, че не може да знае числата, то е ясно за първия, че има съставно число! Така той може да заключи кои са числата, само ако сумата се представя по единствен начин като сума на сътавно с други число. Имаме два случая 3+4 и 2+6 но те не вършат работа, защото вторият ще е получил произведение 12 и така няма да може да определи кои от двата варианта се изпълнява...

[Pito]

според мен задачата икма решение но ми трябва повечко време ще едитна

съобщението ми с възможните отговори дано да успея

[Pito]

то неможело се едитва значи отговора случайно да е 2 и 4 или др то мн веероятно 2 и 5 ? ако не е едно от двете може ли да ми кажеш отговора и горе доло как се намира?

[petko10]

Ок за 40 мин успях да го докарам до 3 и 4 или 2 и 6 ,но тука забих .. ,а пито ,ако е 2,5 тоя с произведението щеше веднага да разбере . Аз съм забил на сборове 7 и 8 и знам ,че числото едно от горните 2 обаче по др-те 2 от сборовете не мога да разбера - и на 2те (2,5 и 3,5) сборовете са само техни от числата в ДС , жокер ?

[jvess]

За 5 минутки стигнах до шест възможни отговора, но май нещо зациклих

2,6

2,9

3,4

3,6

3,8

4,6

[petko10]

Ето моята логика - на табличката която направих и попълних за има няма 10 мин всяка клетка е двойка числа , тая диагоналната линия (която нз дали се вижда ,че е червена ) са еднаквите числа ,над нея са доблиращи двойките под нея (2,3-3,2..) . Сините (тея четирите) са линии ,по които има еднакви сборове .По условие двойките остават 2 сбора с по 2 двойки (нямам конкретно обяснение/доказателство обаче с над 3 двойки сбор не може да е ) . Идеята е ,че този ,който знае сбора има два варянта за двойка числа - едната ,при която от произведението не може да се разбере, кои са числата и друга ,при която може (в случая е точно така и при 2та варянта) . Когато втория казва ,че не знае кои са ,първия веднага разбира ,коя от 2те двойки ,които има е вярната . Сега въпроса е ,че би трябвало при втория да е подобно - ако първият се е сетил ,то значи той е имал точно един варянт ,при който от произведението не може директно да се изведат числата . Тъпото е ,че е така и при двата сбора - и двата имат (2,6 и 3,4) произведение 12 , и двата имат 1 единствен др варянт ,при който няма грешка ако се знае произведението (2,5 и 3,5) . Да не правя някъде някаква малка и тъпа грешка ?!

[promis]

И аз се помъчих с тази задача и ето какво измислих: Всъщност използвах идеята на petko10 и таблицата му по следния начин:

В приложената таблица (табл. 1) - Над диагонала са сборовете на двойките числа от 2 до 11, като поредицата продължава до безкрайност. Под диагонала са произведенията на тези числа, които също продължават до безкрайност. Забелязваме, че сумата и произведението на произволна двойка числа са разположени огледално симетрично спрямо черния диагонал.

1. На въпроса на учителя дали се сеща, Иван казва "не":

След като Иван не може да каже кои са търсените числа х и у, това значи, че сумата, която учителят му е казал не е 5 или 6. Ако беше 5 или 6 Иван веднага щеше да каже отговора. Задраскваме 5 и 6 с червено (табл. 2) - отговорът не е (2;3) и (2;4), съответно задраскваме и произведенията на тези две двойки числа (които са огледално симетричните на сумите им).

2. На въпроса на учителя дали се сеща, Васил казва "не":

Това значи, че произведението на х и у не е 10 (ако беше 10, Васил веднага щеше да се сети, че (х;у) = (2;5)). Задраскваме "10" и огледално симетричната му сума. Произведението не е и 16, защото ако беше 16 има два варианта: 2х8=16 и 4х4=16, но (4;4) не е отговор, така че Васил щеше да се сети, че остава (2;8). Задраскваме "16" и огледално симетричното. (табл. 3)

След като Васил не се е сетил, то както спомена xyz, поне едното х или у е съставно число (произведение на прости). Затова зачертаваме всички произведения на 2 прости числа. В този отрязък на таблицата това са: 15, 14, 21, 35, 22, 33, 55, 77. Задраскваме ги (със зелено) заедно с огледалните им.

3. Когато Иван казва, че вече се е сетил, значи учителят му е казал една от сумите 7, 8 или 10 (понеже само те са останали да се повтарят по веднъж над диагонала. Колкото и да разтягаме таблицата, числата винаги ще се повтарят повече от веднъж. Предполагам и това може да се докаже по някакъв начин, но не се сещам как).

4. Когато Васил казва, че вече се е сетил, значи учителят му е казал едно от произведенията 12 или 24 (понеже те съответстват на сумите от т.3). И тъй като на 12 отговарят две двойки (х;у), а Васил все пак се е сетил, остава отговорът да е (х;у) = (4;6) със сума 4+6=10 и произведение 4х6=24 (табл. 4)

Отговор: х=4, у=6

п.п. Прикачам и таблиците, дано да се виждат

[petko10]

Даа доста по-нагледна таблица и добро обяснение ,благодаря, за което . Аз напрактика обясних ,че моите 2 решения се изключват ама ме домързя да продължа с др варянти ,защото реших ,че твърде мн варянти ще се появят . Браво promis

[sandman]

4 и 6 - ето и моята логика(предварително се извинявам, понеже не съм математик - може да ви се стори простовата):

Иван има сума 10, която може да е сума от 4 и 6, но може да е и от 3 и 7; 2 и 8 => казва "Не знам". При Васил имаме произведение 24, което може да е произведение от 4 и 6, но може да бъде и от 3 и 8; 2 и 12 => не знае. В този момент, обаче, Иван забелязва, че не може числата да са 3 и 7, защото тяхното произведение би било 21, а само 2 цели числа имат произведение 21 и това са 3 и 7 => Васил би трябвало да знае отговора. Аналогично и за 2 и 8 с произведение 16. Тук числата може да бъдат 4 и 4, но по условие това е невъзможно и остават числата 2 и 8 => пак Васил би трябвало да знае отговора. При това положение единствения вариянт остава числата да бъдат 4 и 6.

По подобен начин стоят нещата при Васил. Той чува, че Иван знае отговора и започва да предполага: Ако числата са 2 и 12 със сбор 14 пред иван вариянтите са: 12+2 11+3 10+4 9+5 8+6 и отговора на Васил по никакъв начин не би могъл да улесни Иван. При 3 и 8 вариантите са 3+8, 4+7, 5+6, но нито едно произведение не би дало еднозначен отговор на това кои са числата, така, че Иван няма шанс да изключи вариянт => няма как да са 3 и 8. На края остават числата 4 и 6.

[mIRCata]

Аз стигнах до два варианта на отоговра 3-6, 6-4.

Идеята ми каква е:

Първо Иван не знае числото. А той знае само сборовете. Значи е сбор, който го има поне два пъти. Почти всички сборове на 2-3,2-4,2-5 и т.н до 8-9 се повтарят. Само 5,6,16,17 са уникални.

Т.е със сигурност не е 2-3,2-4,7-9,8-9. Но всичко друго го има по 2,3 даже 4 пъти като резултат от сбор.

Без допълнителни данни, не може да се каже кои са.

При Васил нещата са по друг начин. Произведението на двойките числа почти всички са уникални без изброените по-долу двойки. Те дават по 2 пъти 3 произведения. Ако беше някое от другите произведения, то веднага може да се определи коя е двойката числа. Но и Васил не знае. Значи е от 6-те двойки.

Тези двойки имат съответно сборове за числата даващи повтарящите се произведения :

пр 12 - 3-4 = 7, 2-6 = 8,

пр 18 - 3-6 = 9, 2-9 = 11

пр 24 - 4-6 = 10, 3-8 = 11

Вече знаем точно между кои комбинации търсим.

Сега Иван би трябвало да е чул като сбор 7,8,9,10 или 11. Всичко различно от 11 му дава отговора, защото го има веднъж и е уникално. След като казва, че го знае е нещо различно от 11. Отпадат - 3-8,9-2

Така излиза че търсим нещо между 3-4,2-6,3-6 и 4-6. Имащи произведение 12,12,18,24,

Щом и Васко се сеща, значи е нещо даващо произведение 18 или 24, защото 12 се дублира и не е ясно от къде е. Отпадат 3-4,6-2

Значи търсим между 6-3,6-4. Сега и двамата знаят кое е, ама аз не се сещам кое е защото според мен и двете са възможни отговори.

Двамката Иванчо и Василчо, имайки допълнителната информация за сбора и произведението по отделно за себе си, лесно могат вече да определят коя от двете комбинации е. Но за нас, без тази информация остават 2-те възможности.

Или са им казали 9 и 18 или 10 и 24. Но това не е ясно.

Или е изпуснато в задачата или аз бъркам някъде или има два отговора на тази загадка.

[sandman]

Ако Иван е чул 9 - за него вариянтите са: 2,7; 3,6; 4,5. Но ако са 2 и 7 - Васил ще знае отговора, защото само 2х7=14. Ако са 3 и 6 - 3х6=18, но и 2х9 е 18 => Васил няма да знае отговора; при 4х5=20, ако Васил е чул 20, пак няма да знае отговора, защото освен 4х5 и 2х10 е 20 => и Иван няма как да разбере по отговора на Васил кои са числата. Но по условие той е разбрал => числата са 4 и 6. Отговор на това защо са 4 и 6 - виж ми горното мнение!

[scarecrow]

казва сбор 7. не е ясно дали сумата е 3+4 или 2+5

ако каже произведение 10 втория ще знае числата - няма други числа (щом 1 не е в играта) на които произведението да е 10, но щом втория не е познал значи му е казал произведение 12 - т.е 3*4 или 2*6

след като втория не е познал, първия разбира, че произведението не е 10, значи е 12, т.е. числата са:

3 и 4

[sandman]

Да, обаче, след като Васил чува, че Иван знае отговора, вече и той го знае, а така, както си представил решението, той няма как да разбере кои са числата, защото чува 12, но за него числата могат да бъдат 3 и 4; 2 и 6.

[ISTORIK]

Ами - сега?!

[scarecrow]

грешката е моя. не прочетох добре условието, че и вторият казва, че е разбрал кои са числата.

[Стоедин]

И кои са двете числа? Айде, че ще пукна от напрежение!

[Lion Queen]

Изключваме ли всички числа съдържащи нули и единици изключваме числата 0,1, от 10 до 19, всички над 100 и всички над 1000, както и числата с х11-до х19? А сори видях, че се допускат числа с нули и еденици като прочетох пак...абе хора това е ужасно трудна задача...

Не може ли да се налучква Аз така решавах задачите в училище...Сега ще се съсредоточа ииииии казвам, че числата ъъъ според мен трябва да са по големи от онези в таблицата за умножение..защото инак онзи, който знае произведението бързо ще се сети..кои са те, знаейки произведението им...стига да знае таблицата...

Онзи, който знае сумата всъщност му е много трудно да разбере кои са двете числа... Няма такава проста сума - само числото две и числото 3 са достатъчно прости, за да може онзи, който знае сумата да се сети първи....

Този онзи със сумата чака онзи с произведението да реагира...щото няма козове. Според мен сумата и произведението трябва по някакъв начин да си приличат..ъъйй, за да се стигне до едновременното досещане

Този с произведението явно се двоуми...което означава, че не му се е паднала уникално произведение между две цели числа, което той веднага да сметне. Въпросът е що като вижда, че тоя с сумата не се сеща му става ясно кои са числата...

Абе кому е нужно всичко това...мен ме заболя главата... Не разбирам нищо от математика ама сега това като ме бъзна тая задачка няма да мога и аз да спя...

Аз налучквам, че числата са 3 и 10.... не знам защо тъй ми се струва... примерно

[petko10]

А бе хора чтете цялата тема - решението го има 2 пъти

[Lion Queen]

Горо не е написал все още, че предложеното решение е вярно всъщност...той като мълчи аз като пълен профан що да съм сигурна, че този път на разсъждения е верен. В крайна сметка числата може да не са 4 и 6, а всяка група числа отговаряща на състоянието на зависимостта между четири и шест... Има някаква уловка тука или пък просто пътят на математиката отново ме спъва Горо викаше, че задачата била "красива" или нещо такова....за това си представях грандиозна простота...в решението а не вериги от числа...Всъщност какъв е критерият за "естетика" в една задача?

[Coldy]

Аз не съм съгласен, че числата са 4 и 6. Признавам си, прочетох само първите 4,5 коментара по темата и започнах с мисленето и след около 15-ина мин ми хрумна една идея..... За съжаление надали ще мога да я възпроизведа на нещо различно от лист хартия. Дори успях да се объркам около 10-ина пъти докато я обезнявах на глас, но резултатът е следният: (за задачката не се иска да си математик, а по-скоро трябва доста логика)

Първо - взема в предвид, че Иван е попитан пръв дали се сеща за отговора, след това Васил.

Второ - след като Иван чува, че Васил не знае отговора се сеща за числата, а веднага след него и Васил се сеща

Оттук следва, 4е Иван и Васил са се колебаели между 2 варианта (явно е че отпадат твърде големите числа).

...и т.н.

Следва (според мен) числата са 2 и 6.